旋转有什么作用？
这个问题，我去年就思考过，也写过答案了，不过那时候没深入思考，所以写得比较浅显。现在继续思考这个事情，补充一些内容。 旋转的作用主要是为了提供非欧几里德视角（或者说异于欧几里德的几何）。在这个视角下思考问题，很多问题都会变得非常简单。
以圆为例，在欧几里德几何中，圆是个椭圆。但是在非欧几里德视角，圆其实是平面直角坐标系中的单位圆。同样，球体在欧几里德视角是曲面，而在非欧几里德视角则是空间直角坐标系下的一个球体。
在非欧几里德视角下思考问题，很多几何问题就变得非常容易了。比如求体积，欧几里德你需要做无数小格，然后把每个小格的面积为底乘起来。而如果用非欧几里德视角，直接就把整个图形切成无数个等腰直角三角形然后利用面积公式就得到结果了。
除了几何问题，代数的问题也一样可以简化。最典型的就是方程的根和系数的关系问题。在欧几里德视角下，解方程相当于找所有满足条件的未知数解；而在非欧几里德视角下，只要把未知数的各个系数分解质因数（这是由于非欧几里德视角下的方程一定是形如x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdot\cdot\cdot+a_{n}=0 的形式，这样就可以利用二次方程的两个根与系数的关系来解方程了）就能得到方程的解了。
当然非欧几里德视角也有其无法解决的问题，比如尺规作图三等分角。这是因为虽然非欧几里德视角下，任何一个角都可以用一个勾股数组表示出来，但是这样的角度是一个集合，而不是具体的某一个值。既然不是一个确定的数值，那就没有办法利用直线和曲线的知识解决这个问题了。